O princeznej Sin a dvoch deriváciách

Bolo, nebolo. Na jednom definičnom obore bol definovaný mocný Logaritmus, ktorý mal za dcéru krásnu funkciu. Sínus X, ako sa jeho dcéra volala, bola skutočne nádherná. Jej ladná krivka bola zvýraznená absolútnou hodnotou, ktorú si rada obliekala. Pôvab jej dodávala i veľká frekvencia a krásna amplitúda na sympaticky súmernom obore hodnôt. Pri úsmeve roztomilo špúlila periódu a nevadil ani jej mierny kosínusovitý predkus. Funkcie na celom definičnom obore žili spokojne a mocný Logaritmus všetky uznávali za svojho pána a vládcu. Ale jedného dňa sa blízko logaritmického pravítka, kde kráľ sídlil usadila zlá derivácia. Terorizovala pravé i ľavé okolie a derivovala všetko, čo jej prišlo do cesty, až všade okolo liezli len samé nuly. Raz odkázala kráľovi:“Za týždeň zderivujem tvoju dcéru.” A bolo mnoho smútku v prstencovom okolí, až kráľ rozhodol: “Sínusoidu a pol definičného oboru dostane ten, kto nás zbaví tej hroznej derivácie.” Spočiatku sa hlásilo mnoho funkcií, ktoré sa chceli s nepriateľom stretnúť. Ale dni ubiehali a po derivácii vždy ostávali len nuly. Statočné zložené funkcie metali po derivácii svoje parametre, kvadratické funkcie chceli v boji využiť parabolický tvar svojich grafov, ale všetci podľahli. S úspechom sa nestretol ani exponenciálny rytier, ktorý sa síce domnieval, že je pre deriváciu neporaziteľný, ale tá ho chladnokrvne zderivovala so základom y. O ponuke kráľa sa dozvedel i šľachtic Arkus von Sínus. Bol múdrejší než všetci ostatní a preto sa nevydal priamo do boja, ale najskôr vyhľadal starý múdry Integrál, ktorý mal v boji s deriváciami veľké skúsenosti. “Dobre si spravil, že si za mnou prišiel.” povedal mu Integrál. “Dám ti tri dary, ktoré ti v boji pomôžu. Prvý je exponenciálny štít. Je tvorený zloženými exponenciálnymi funkciami s rôznymi premennými a preto je veľmi ťažké ho zderivovať. Môj druhý dar je tento integračný meč. Je to jediná zbraň, ktorá je schopná deriváciu poraziť. Tretím darom je tento cyklometrický amulet. Bude ti stále pripomínať, aby si nezabudol pripočítať integračnú konštantu. Teraz choď a determinant ťa sprevádzaj.” A prišiel deň, keď mala byť zderivovaná krásna princezná Sínus X. Doprevádzaná ľahkými lineárnymi funkciami kráčala princezná k brlohu strašnej derivácie. V tom sa prirútil Arkus von Sínus na ohnivej limite a zvolal: “Nič sa neboj krásna Pann… (?) funkcia. Som tu, aby som ťa zachránil.” a poštuchal svoju limitu do cvalu. Vtom už vyliezla derivácia zo svojho brlohu. Zbadala bojovníka a vrhla sa na neho. Arkus však nečaká a útočí svojím integračným mečom, exponenciálnym štítom kryje každý pokus derivácie. Všade okolo odletujú samé zakrvavené parciálne zlomky a po zemi sa bezvládne povaľujú vnútorné funkcie. Konečne sa i derivácia zhrnula na zem. “A je to.” Zaradoval sa Arkus von Sínus. V tom sa mu ale v exponenciálnom štíte zjavil starý múdry Integrál s hrdzavým plnofúzom: “Moment princ. Druhá derivácia ti nič nehovorí ?” A skutočne. Z brlohu už lezie druhá derivácia a siaha na rytiera. A zase boj, zase zlomky a elementárne funkcie všade okolo. Ale nakoniec bol princ i s druhou deriváciou hotový. Potom nazrel do skrípt. “Nie, o tretej derivácii v tomto prípade netreba uvažovať.” oddýchol si. A už sa k nemu ženú šťastné funkcie a oslavujú víťazstvo nad deriváciou. I starý mocný Logaritmus prišiel a ďakoval. Potom sa spýtal Arkusa, ako sa s ním vyrovná. “Som chrabrý funkčný predpis a šľachtic Arkus von Sínus. Dajte mi svoju krásnu dcéru Sínus X a budem spokojný.” Dostal teda princeznú a mali spolu dcérku krásnu Konštantu. A ak nezomreli, konvergujú dodnes.

O zlomyselnej matici a hrdinovy Dôkaze

Bolo nebolo. V jednom lineárnom priestore nad telesom reálnych čísel vznikla náboženská sústava matíc tajného rádu n uctievajúcich charakteristický polynóm Fí. Maticou predstavenou tejto sekty bola stará Adjungovaná. Tá závidela kráľovstvu mocného Logaritmu, že si skoro všetky funkcie spokojne konvergujú a tak sa rozhodla, že kráľovstvo zničí. Pamätajúc na legendu o porážke krutej derivácie vedela, že musí najprv zneškodniť Integrál. Ale ako ? Začala si prečesávať algebraické doplnky a vtom jej hlavnou diagonálou blysla spásna myšlienka. “Sestry,” prehovorila vzrušením tak hlasno, že niektoré matice ľaknutím vykonali aj tri elementárne úpravy naraz, “musíme sa zmocniť krásnej Konštanty, dcéry princa Arkus von Sínusa a princeznej Sínus X. Vyšleme premennú Xí, ktorá vláka Konštantu do nekonečno-dimenzionálneho priestoru !” Adjungovaná matica by sa najradšej Hermitovsky transponovala, takú mala dobrú náladu. Počítala s tým, že jej pomôžu dvojčatá Nekonečnovci. Tie od seba nikto nerozoznal. Však sa líšili len materským znamienkom. Naviac dvojčatá Nekonečnovci nikdy kráľovi neodpustili, že ich prehlásil za nevlastné (čísla) a vyhnal ich za devätoro prvočísiel, až na samé konce reálnej osi. Adjungovaná matica dala priviesť homogénnu sústavu lineárnych algebraických rovníc a prikázala jej, aby sa vyriešila. Keď po chvíli vyšla premenná Xí, nechala ju Adjungovaná priblížiť k Plus Nekonečnu, ktoré jej ukázalo cestu ku Konštante. Medzitým sa malá Konštanta nič netušiac nevinne hrala so svojou kamarátkou exponenciálnou funkciou na divergovanú, keď tu zrazu zbadala premennú Xí. “Však si ma nepričítaš !” zvolala premenná Xí (sčítanie bola najobľúbenejšia operácia Konštanty). Dôverčivá Konštanta si Xí pripočítavala a pripočítavala, až sa ocitla v okolí Nekonečna a prepadala sa do nekonečne-dimenzionálneho priestoru. “Cha cha !!!”, rozliehal sa diabolský smiech Adjungovanej matice lineárnym priestorom, “Teraz zničíme Integrál!” Keď sa princ Arkus dozvedel, čo sa stalo, išiel sa poradiť za starým Integrálom. “Adjungovaná matica väzní Konštantu.” sťažoval sa Arkus, “Nemohol by si sa ju pokúsiť vyslobodiť ?” “Určite.” odpovedal Určitý Integrál a vydal sa na cestu. Ale keď sa pokúsil Konštantu zintegrovať späť – jajže! – v nekonečno-dimenzionálnom priestore nemal žiadne medze a tak integroval a integroval, ale vychádzali mu samé nezmysly. Zmiznutím Určitého Integrálu a Konštanty však v kráľovstve nastala nerovnováha – zo zatuchlých diferenciálnych rovníc začali vyliezať parciálne derivácie a vypukla vojna. Lomené funkcie prepichovali svojimi extrémami exponenciálnych a mocninných nepriateľov, citlivé cyklometrické funkcie totálne zblbli a začali si vymenovávať obory hodnôt, hyperbola podplatila limitu a dodefinovala sa v nule, odmocniny zo zúfalstva skúšali odmocniť záporné čísla a zradná parabola emigrovala do množiny komplexných čísel. Číslu e sa všetci posmievali, že je iracionálne a tak zaútočilo rovno na kráľa Logaritmusa. Ten v roztržitosti zabudol, že je urodzený … ehm prirodzený a nebohé číslo e logaritmoval, až z neho zostala jednotka. Tento zmätok zneužila Jordánova matica v kanonickom tvare a ostreľovala počiatok reálnej osi. Už to vyzeralo na zánik kráľovstva, ale potom našťastie prišla záchrana. Arkusova teta Veta sa na to nemohla ďalej dívať a vydala sa za Dôkazom, ktorý práve koketoval s roztomilou slečnou Matematickou Indukciou. Chytila ho za implikáciu, škaredo sa na neho pozrela a povedala: “Nech je na reálnej osi všetko v poriadku!” Dôkaz výrok dokázal a je to.

O Tangensovi a Cotangense

V jednom stratenom uzavretom intervale žil otec Sínus so svojimi dvoma deťmi, synom Tangens a dcérou Kotangens (pozn.: Keď ich s manželkou Kosínus definovali, bol raz navrchu on, raz ona). Sínus pracoval v lese, kam chodil každú periódu rúbať polynómy. Raz išiel ďalej do lesa a tak vzal deti so sebou. Keď prišli na miesto, kde chcel tej periódy rúbať, povedal svojim deťom: “Pekne si tu konvergujte a nehnevajte. Večer sa po vás vrátim.” Potom odišiel za prácou. Deti veselo konvergovali na deriváciu, potom na hyperbolu a parabolu a tak podobne takmer pol periódy. Potom dostala Kotangens nápad, že by si mohli natrhať absolútne členy malých polynómov. Keď mali plné obory hodnôt, sadli si deti na starú konštantu a jedli. Potom zase konvergovali a tak stále dookola. Keď sa už perióda chýlila ku koncu, všimla si Kotangens, že polynómy v okolí sú omnoho väčšieho rádu, než bývajú v okolí ich intervalu. Strašne sa zľakla a vykríkla: “Braček! Myslím, že sme zablúdili.” Tangens sa zľakol ešte viac a pretože bol mladší a ustráchanejší, dal sa do usedavého plaču, až mu konštanty kanuli po konvexných častiach grafu. Kotangens bola staršia a rozumnejšia a tak ju ani táto zložitá sústava nezaskočila a hneď mala riešenie aj keď nie jednoznačne určené. “Vylez na tamten vysoký polynóm. Rozhliadni sa po Epsilon-okolí a ak uvidíš niekde inflexiu, posunieš tým smerom absolútny člen toho polynómu, aby si smer nezabudol. Potom sa dáme tým smerom a niekam určite dôjdeme.” Tangens sa z nájdeného riešenia zaradoval a hneď urobil, čo mu Kotangens povedala. Vyliezol na polynóm, rozhliadol sa po Epsilon-okolí, v diaľke zahliadol inflexiu, odtrhol absolútny člen polynómu a posunul ho smerom k inflexii. Potom zliezol a vydal sa so sestrou tým smerom. Bola už úplná tma, keď deti dorazili na interval, ktorý bol na ich prekvapenie zložený zo samých chutných núl. Rozhodli sa , že sa najedia a potom sa uvidí. Dali si niekoľko núl a chcelo sa im spať. “Myslím, že teraz už aj tak ďalej nemôžeme.” povedala Kotangens, “Mali by sme sa vyspať a ráno uvidíme.” Obe deti zaspali, ako keby ich do vody hodili. Spali dlho, pretože netušili, že na tomto intervale je definovaná strašná Nula, ktorá čo nájde, to sebou vynásobí. Ráno, keď sa deti prebudili, chceli si vziať ešte pár núl, keď začuli Nulu, ako sa k nim so strašným lomozom blíži. Deti začali utekať, čo im extrémy stačili. Nula ich však stále doháňala. Keď si už mysleli, že ich musí tiež vynásobiť, náhle sa zastavila a nechala ich ísť. Deti sa nechápavo otočili a pochopili. Ako utekali, ani si nevšimli, že sa vrátili do svojho intervalu a Nula tu nebola definovaná. Chvíľu sledovali Nulu, ako od zlosti sama seba násobí sebou samou a potom sa radostne rozbehli za ockom. Keď pribehli domov, Sínus ich radostne chytil za konkávy a všetci boli radi, že to všetko dobre dopadlo.

Norma a sedem determinantov

Bolo, nebolo … . Za deviatimi bázami a deviatimi súradnicami na jednom lineárnom priestore vládla zlá Matica. Bola zlá, neznášanlivá a povýšenecká (to preto, že mala veľkú hodnosť) a veľmi si zakladala na svojej singularite. Na jej beta okolí s ňou žila krásna Norma. Matica mala zázračné skriptá (sem môžete doplniť názov svojej najobľúbenejšej učebnice), ktoré poznali odpoveď na každú otázku. Jedného dňa sa ich Matica opýtala: “Skriptá, skriptá, povedzte mi, kto je na celom lineárnom priestore najsamoadjungovanejší ?” “Matematicky je to síce hlúposť,” povedali skriptá, “ale najsamoadjungovanejšia je krásna Norma, ktorá žije na tvojom beta okolí.” Tu sa Matica veľmi rozľútostila, zavolala k sebe svoj Jordánov tvar a prikázala mu: “Odvez Normu z môjho beta okolia do hlbokého lesa medzi polynómy a predhoď ju tam dravým deriváciám !” I poslúchol ju a v noci odviedol Normu až na samý kraj lineárneho priestoru, kde ju nechal krutému osudu. Norma plakala, keď ju tam tak opustil. Išla lesom, blúdila medzi polynómami, zakopávala o ich korene a koeficienty jej šľahali do tváre. Polynómy vidiac jej žiaľ zvučali v opernom zbore: “Matica zlá, Matica zlá, …” A tak Norma šla, až došla na paseku (čistinku). Niektoré polynómy tu boli vyrúbané a na ich miestach ostávali veľké absolútne členy. Medzi nimi stála malá množina. Norma vošla dnu, ale nikoho nenašla. Pretože bola unavená, ľahla si tam do hranatých zátvoriek a zaspala. Keď sa Norma ráno zobudila, zistila, že sa nad ňou skláňajú siedmi Determinanti. Vyľakala sa, ale jeden z nich ju ukľudnil: “Nič sa neboj krásna Norma. Vieme kto si, aj to, že ťa zlá Matica vyhnala do lesa medzi dravé derivácie. Máš šťastie, že si sem prišla. Pre neľútostné derivácie v doplnku našej množiny by nebol problém zderivovať takú krehkú Normu, ako si ty. Ale tu si v bezpečí a môžeš s nami v našej množine ostať tak dlho, ako budeš chcieť.” Potom sa jej Determinanti predstavili. Boli to siedmi Minori, ktorí náležali jednej dobrej Matici a tak u nich Norma zostala. Uplynulo niekoľko periód. Determinanti chodili každú periódu do ďalekých diferenciálnych rovníc ťažiť partikulárne riešenia a Norma sa im zatiaľ starala o množinu. Maticu raz o5 chytila ješitnosť a zase sa pýtala svojich zázračných skrípt, kto je na celom lineárnom priestore najsamoadjungovanejší. A skriptá odpovedali: “Ako aj pred niekoľkými periódami až dodnes je najsamoadjungovanejšou krásna Norma, ktorú si nechala vyhnať zo svojho beta okolia.” I rozľútostila sa Matica a rozhodla sa, že tento krát sa o Normu postará sama. Preto sa hermitovsky transponovala a jedného dňa, keď Determinanti odišli do diferenciálnych rovníc ťažiť partikulárne riešenia prišla v podobe dôveryhodne vyzerajúcej jednotkovej Matice k ich množine a zaklepala na supremum. Norma vyzrela von a povedala si: “Nejaká jednotková Matica klepe na supremum. Čo sa môže stať? Prinajhoršom ju ovalím nejakým stĺpcom riešení a bude kľud.” A tak otvorila. Otvorená množina ale nechala Matici voľnú pôsobnosť. Preto sa rýchle transponovala s5 do svojej hrozivej podoby a než stihla Norma čokoľvek spraviť vypustila na ňu derivácie. Tie sa na ňu vrhli a keď sa po chvíli vzdialili, ležala na hornej medzi množiny iba nehybná nula. Matica odišla a nechala ju osudu. Na sklonku periódy sa Determinanti vrátili z rovníc domov. Keď videli pri množine ležať nulu, začali nariekať. “Prečo sme sa len o ňu lepšie nestarali!” bedákali a zalamovali diagonálami. Uložili ju do malej podmnožiny a nechali ju tak. Uplynulo mnoho periód, keď jedného dňa prišiel k ich množine mladý Integrál. Determninanti mu vyšli v ústrety a on sa ich hneď pýtal: “Poraďte mi múdri Minori. Hľadám tú, ktorá je na celom lineárnom priestore najsamoadjungovanejšia. Poznáte takú?” “Áno, poznáme. Žila tu s nami po tom, čo ju zlá Matica vyhnala zo svojho beta okolia, ale našla ju a nechala ju zderivovať. Teraz leží tu v tejto podmnožine.” “Nechajte ma, nech sa na ňu pozriem.” prosil Integrál. Determinanti mu to umožnili. Integrál vošiel do množiny a videl tam ležať Normu. I v tomto nulovom tvare bola okúzľujúca, až sa Integrálu tajili medze. “Je krásna.” povedal. “Musím ju zachrániť.” a pustil sa do integrácie. Keď už bol takmer hotový zistil, že musí zvoliť integračnú konštantu. A tak sa opýtal Minorov: “Nemáte tu niekde náhodou jej identické zobrazenie?” “Máme, povedal najstarší z Determinantov, siahol do vrecka a podal mu fotografiu. Podľa nej Integrál zvolil integračnú konštantu. Vtom Norma vyskočila, bola zase zdravá a ešte samoadjungovanejšia než kedysi. Integrál aj Determinanti sa zaradovali. No a potom sa Norma s Integrálom nechali previesť na normovaný tvar. Minori im ako svadobný dar dali mnoho partikulárnych riešení a ak ich niekto nezderivoval, tak tam konvergujú dodnes.